Analys I · 2025-05-13
Undersök lokala och globala extremvärden samt asymptoter till funktionen
$$f(x)=(2x-1)e^{-x^2},$$
och skissera grafen (konvexitet behöver inte undersökas).
Bestäm, med noggrann motivering, hur många inflektionspunkter grafen har (punkterna behöver inte bestämmas).
(a) Vi ser att funktionen $f(x)=(2x-1)e^{-x^2}$ är definierad och kontinuerlig för alla $x\in\mathbb R$. Därmed saknas vertikala asymptoter. Vi har dock att
$$\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0,$$
så $y=0$ är en tvåsidig horisontell asymptot.
Efter förenkling får vi $f'(x)=2(1-x)(2x+1)e^{-x^2}$ så derivatans nollställen är vid $x=1$ och vid $x=-1/2$. Vi gör en teckentabell:
$$\begin{array}{c|ccccc}x&&-1/2&&1&\\\hline f'(x)&-&0&+&0&-\\f(x)&\searrow&-2/\sqrt[4]e&\nearrow&1/e&\searrow\end{array}$$
Vi kan nu skissa grafen:
Vi ser från denna att grafen har ett globalt minimum $f(-1/2)=-2/\sqrt[4]e$, och ett globalt max $f(1)=1/e$.
(b) Vi får $f''(x)=2(4x^3-2x^2-6x+1)e^{-x^2}$ vilket visar att andraderivatan kan ha högst $3$ nollställen, men eftersom
$$f''(-10)<0,\qquad f''(0)>0,\qquad f''(1)<0,\qquad f''(10)>0,$$
så har $f''(x)$ precis $3$ teckenväxlingar, så vi har därmed $3$ inflektionspunkter.