Uppgift 4

(a) Definitionsmängden för arcsin är $[-1,1]$, så $f(x)$ är definierad precis då $\lvert1/x\rvert\le1$, dvs då $\lvert x\rvert\ge1$, så $D_f=(-\infty,-1]\cup[1,\infty)$.

(b) Funktionen $f(x)$ är definierad och kontinuerlig för alla $x\ne0$ så den enda möjliga vertikala asymptoten är $x=0$. Nu gäller $\lim_{x\to0}f(x)=\infty$, så $x=0$ är verkligen en asymptot. Vi får vidare att
$$f(x)=\begin{cases}-x-1-\frac1x;&x<0\\x+1+\frac1x;&x>0\end{cases}$$
så $\lim_{x\to-\infty}(f(x)-(-x-1))=\lim_{x\to-\infty}\frac{-1}x=0$, så $y=-x-1$ är en asymptot då $x\to-\infty$. På samma sätt fås att $y=x+1$ är en asymptot då $x\to\infty$.