Analys I · 2025-05-13
Ge ett exempel på en strängt växande och deriverbar funktion $h(x)$ på $\mathbb{R}$ som uppfyller $h'(1)=0$.
Antag att $f(x)$ är en positiv och deriverbar funktion på $\mathbb{R}$.
Om $g(x)=\sqrt{f(x)}$, visa utifrån derivatans definition att
$$g'(x)=\frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}.$$
(a) Man kontrollerar lätt att t ex $h(x)=(x-1)^3$ uppfyller kraven.
(b) Derivatans definition, följt av en förlängning med konjugat, ger
$$\begin{aligned}g'(x)&=\lim_{h\to0}\frac{g(x+h)-g(x)}h\\&=\lim_{h\to0}\frac{\sqrt{f(x+h)}-\sqrt{f(x)}}h\\&=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h(\sqrt{f(x+h)}+\sqrt{f(x)})}\\&=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}h\lim_{h\to0}\frac1{\sqrt{f(x+h)}+\sqrt{f(x)}}\\&=f'(x)\frac1{\sqrt{f(x)}+\sqrt{f(x)}}=\frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}},\end{aligned}$$
där vi i gränsövergången även utnyttjat att en deriverbar funktion alltid är kontinuerlig.