Uppgift 1
Bestäm med delkursens metoder (så t ex inte med l’Hospitals regel) gränsvärdena
(a)
$\lim_{x\to 1^+}\frac{\sqrt{x^2+3}-2}{\lvert 1-x\rvert}$,
(b)
$\lim_{x\to 0^+}\bigl(\ln(2x)-\ln(\sin(x))\bigr)$.
Analys I · 2025-08-15
Uppgift 1
Visa lösningDölj lösning
(a) Eftersom $\lvert1-x\rvert=-(1-x)=x-1$ då $x>1$ får vi om vi förlänger med konjugatuttrycket att
$$\begin{aligned}\lim_{x\to1^+}\frac{\sqrt{x^2+3}-2}{\lvert1-x\rvert}&=\lim_{x\to1^+}\frac{\sqrt{x^2+3}-2}{x-1}\\&=\lim_{x\to1^+}\frac{(x^2+3)-2^2}{(x-1)(\sqrt{x^2+3}+2)}=\lim_{x\to1^+}\frac{x+1}{\sqrt{x^2+3}+2}=\frac12.\end{aligned}$$
(b) Med logaritmlagarna och standardgränsvärdet för sinus får vi
$$\lim_{x\to0^+}(\ln(2x)-\ln(\sin(x)))=\lim_{x\to0^+}\ln\left(\frac2{\frac{\sin(x)}x}\right)=\ln(2).$$