Uppgift 1
Bestäm med delkursens metoder (så t.ex. inte med l’Hospitals regel) gränsvärdena
(a)
$\lim_{x\to 2}\frac{\sqrt{x+7}-3}{\sqrt{x-1}-1}$,
(b)
$\lim_{x\to\infty}x\bigl(\ln(2+x)-\ln(x)\bigr)$.
Analys I · 2025-10-27
Uppgift 1
Visa lösningDölj lösning
(a) Förlänger vi med både täljarens och nämnarens konjugat fås då $x\to2$ att
$$\frac{\sqrt{x+7}-3}{\sqrt{x-1}-1}=\frac{(x-2)(\sqrt{x-1}+1)}{(x-2)(\sqrt{x+7}+3)}=\frac{\sqrt{x-1}+1}{\sqrt{x+7}+3}\to\frac{\sqrt1+1}{\sqrt9+3}=\frac13.$$
(b) Vi får med logaritmlagarna och en substitution att
$$\begin{aligned}\lim_{x\to\infty}x(\ln(2+x)-\ln(x))&=\lim_{x\to\infty}\ln\left(1+\frac2x\right)^x=\left[\begin{array}{c}t=x/2\\t\to\infty\end{array}\right]\\&=\lim_{t\to\infty}\ln\left(1+\frac1t\right)^{2t}=2\lim_{t\to\infty}\ln\left(1+\frac1t\right)^t=2\ln(e)=2,\end{aligned}$$
där vi använt standardgränsvärdet för $e$.