Uppgift 2

Funktionen $f(x)=(\lvert x\rvert-1)e^{-x}$ är definierad och kontinuerlig på hela $\mathbb R$, så vertikala asymptoter saknas. Vi har $\lim_{x\to\infty}f(x)=0$, så $y=0$ är en horisontell asymptot. Eftersom $\lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}x=-\infty$ saknas sned asymptot då $x\to-\infty$.

Vi får efter förenkling att $f'(x)=\begin{cases}xe^{-x}&\text{om }x<0,\\(2-x)e^{-x}&\text{om }x>0.\end{cases}$ så derivatan är bara $0$ vid $x=2$. Vi gör en teckentabell
$$\begin{array}{c|ccccc}x&&0&&2&\\\hline f'(x)&-&\text{ej def.}&+&0&-\\f(x)&\searrow&-1&\nearrow&e^{-2}&\searrow\end{array}$$
och med hjälp av den kan vi skissa grafen:

Vi ser från den att vi har ett globalt minimum i $x=0$, och ett lokalt maximum i $x=2$, men att globalt maximum saknas.