Analys I · 2025-10-27
Bestäm inversen till funktionen $f(x)=\frac{\ln(1+x)}{3}+2$. Ange speciellt inversens definitionsmängd och värdemängd.
En talföljd $(a_k)_{k=0}^{\infty}$ definieras genom
$$\begin{cases}a_0=0,\\a_k=\frac{4-a_{k-1}}{2},\quad k=1,2,3,\dots\end{cases}$$
Beräkna $a_1$, $a_2$ och $a_3$. Rita en situationsbild (ett s.k. spindeldiagram) över talföljden, och dra slutsatser från figuren om talföljden verkar ha något gränsvärde då $k\to\infty$.
(a) Om $x>-1$ får vi
$$\begin{aligned}y=f(x)&\iff y=\frac{\ln(1+x)}3+2\iff\ln(1+x)=3y-6\\&\iff1+x=e^{3y-6}\iff x=e^{3y-6}-1.\end{aligned}$$
Funktionen $f$ är därmed inverterbar och $f^{-1}(y)=e^{3y-6}-1$. Vi har alltså att $f^{-1}(x)=e^{3x-6}-1$, och inversens definitionsmängd är $\mathbb R$, och dess värdemängd intervallet $(-1,\infty)$.
(b) Vi får att $a_1=2$, $a_2=1$ och $a_3=3/2$. Om vi inför funktionen $f(x)=(4-x)/2$ så ges rekursionsformeln av $a_k=f(a_{k-1})$ för $k=1,2,3,\dots$.
Vi ska rita de två graferna $y=f(x)$ och $y=x$ i samma koordinatsystem. Vi får kurvornas skärningspunkt av
$$x=f(x)\iff x=\frac{4-x}2\iff x=4/3,$$
så det finns bara en skärningspunkt. Spindeldiagrammet blir:
Från detta är det klart att talföljden kommer konvergera mot skärningspunkten, så vi drar slutsatsen att $\lim_{k\to\infty}a_k=4/3$.