Uppgift 4

(a) Med partialintegrering får vi $\int x^7\ln(x)\,dx=\frac{x^8}8\ln(x)-\int\frac{x^8}8\frac1x\,dx=\frac{x^8}8\ln(x)-\frac18\int x^7\,dx=\frac{x^8}8\ln(x)-\frac18\frac{x^8}8+C=\frac1{64}x^8(8\ln(x)-1)+C$.

(b) Vi gör substitutionen $t=\sqrt x$ följt av en partialintegrering och får:
$$\begin{aligned}\int_0^4e^{\sqrt x}\,dx&=\left[\begin{array}{c}t=\sqrt x\\x=t^2\\dx=2t\,dt\end{array}\right]=2\int_0^2te^t\,dt=2\left([te^t]_0^2-\int_0^2e^t\,dt\right)\\&=4e^2-2[e^t]_0^2=2e^2+2.\end{aligned}$$