Analys I · 2025-10-27
Låt $f(x)=e^{2x}\sin(3x)$. Bestäm $f'(0)$ direkt utifrån derivatans definition.
Derivera funktionen $f(x)=\int_0^{\sin(x)}e^{t^2}\,dt$.
Ge ett exempel på en funktion $f(x)$ vars graf $y=f(x)$ har asymptoterna $x=0$ och $y=x-1$. Motivera noga.
(a) Derivatans definition ger att
$$\begin{aligned}f'(0)&=\lim_{h\to0}\frac{f(0+h)-f(0)}h=\lim_{h\to0}\frac{e^{2h}\sin(3h)}h\\&=\lim_{h\to0}3\cdot e^{2h}\cdot\frac{\sin(3h)}{3h}=3\cdot e^0\cdot1=3,\end{aligned}$$
där vi använt standardgränsvärdet för sinus.
(b) Med integralkalkylens huvudsats och kedjeregeln får vi
$$f'(x)=e^{\sin^2(x)}\cos(x).$$
(c) Om vi sätter exempelvis $f(x)=x-1+\frac1{x^2}$ får vi $\lim_{x\to0}f(x)=\infty$ och $\lim_{x\to\pm\infty}(f(x)-(x-1))=0$, vilket visar att vi har de givna asymptoterna.