Uppgift 1
Bestäm med delkursens metoder (så t.ex. inte med l’Hospitals regel) gränsvärdena
(a)
$\lim_{n\to\infty}\left(\sqrt{n^2+an}-\sqrt{n^2-bn}\right)$, där $a,b$ är reella konstanter.
(b)
$\lim_{x\to 0}\frac{e^{3x}-e^x}{\sin(3x)}$
Analys I · 2025-12-10
Uppgift 1
Visa lösningDölj lösning
(a) Förlänger vi med konjugatuttrycket får vi
$$\sqrt{n^2+an}-\sqrt{n^2-bn}=\frac{(n^2+an)-(n^2-bn)}{\sqrt{n^2+an}+\sqrt{n^2-bn}}=\frac{a+b}{\sqrt{1+a/n}+\sqrt{1-b/n}}\to\frac{a+b}2$$
då $n\to\infty$.
(b) Standardgränsvärdena för exponentialfunktionen och sinus ger
$$\lim_{x\to0}\frac{e^{3x}-e^x}{\sin(3x)}=\lim_{x\to0}\left(\frac23\cdot e^x\cdot\frac{e^{2x}-1}{2x}\cdot\frac{3x}{\sin(3x)}\right)=\frac23\cdot e^0\cdot1\cdot1=\frac23.$$