Uppgift 2

Vi ser att funktionen $f(x)=\frac{x^2-3}{\lvert x-2\rvert}$ är definierad och kontinuerlig för alla $x\ne2$, och eftersom $\lim_{x\to2}f(x)=\infty$ så är $x=2$ en unik vertikal asymptot. Vi får med polynomdivision att $f(x)=\begin{cases}-x-2-\frac1{x-2}&\text{om }x<2,\\x+2+\frac1{x-2}&\text{om }x>2,\end{cases}$ så
$$\lim_{x\to-\infty}(f(x)-(-x-2))=\lim_{x\to\infty}(f(x)-(x+2))=0$$
och därmed är $y=-x-2$ och $y=x+2$ sneda asymptoter. Vi får
$$f'(x)=\begin{cases}-1+\frac1{(x-2)^2}&\text{om }x<2,\\1-\frac1{(x-2)^2}&\text{om }x>2.\end{cases}$$
vilket enkelt ger att derivatans nollställen är vid $x=1$ och $x=3$. Vi gör en teckentabell:
$$\begin{array}{c|ccccccc}x&&1&&2&&3&\\\hline f'(x)&-&0&+&\text{ej def.}&-&0&+\\f(x)&\searrow&-2&\nearrow&\text{ej def.}&\searrow&6&\nearrow\end{array}$$
Vi kan nu skissa grafen:

Vi ser från denna att grafen har ett lokalt minimum $f(3)=6$, och ett globalt minimum $f(1)=-2$.