Uppgift 4

(a) Låt $f(x)=\frac{x^2}{1+x^2}$, vilket ger att $f'(x)=\frac{2x}{(1+x^2)^2}$. Tangenten till $y=f(x)$ i en punkt $(a,f(a))$ har ekvationen
$$y-f(a)=f'(a)(x-a)\iff y-\frac{a^2}{1+a^2}=\frac{2a}{(1+a^2)^2}(x-a).\tag{1}$$
Denna tangent passerar origo $(x,y)=(0,0)$ om
$$0-\frac{a^2}{1+a^2}=\frac{2a}{(1+a^2)^2}(0-a)\iff-a^2(1+a^2)=-2a^2\iff a^2(a-1)(a+1)=0,$$
så för $a=0,\pm1$. Insättning av dessa värden på $a$ i ekvation (1) ger de tre tangenterna $y=0$, $y=x/2$ och $y=-x/2$.

(b) Om vi till exempel sätter in punkten $(x,y)=(0,1)$ i ekvation (1) får vi
$$1-\frac{a^2}{1+a^2}=\frac{2a}{(1+a^2)^2}(0-a)\iff1+a^2=-2a^2,$$
som saknar lösning, och därmed går ingen tangent genom punkten $(0,1)$.