Analys I · 2025-12-10
Betrakta funktionen $f(x)=x\lvert x\rvert$ för $x\in\mathbb{R}$.
Visa att $f(x)$ är deriverbar i punkten $x=0$.
Ange en (enkel) formel för $f'(x)$ som gäller för alla $x\in\mathbb{R}$.
Bestäm en primitiv funktion till $g(x)=\lvert x\rvert$.
(a) Derivatans definition ger att
$$f'(0)=\lim_{h\to0}\frac{f(0+h)-f(0)}h=\lim_{h\to0}\frac{h\lvert h\rvert-0}h=\lim_{h\to0}\lvert h\rvert=0.$$
Funktionen $f(x)$ är därmed deriverbar i punkten $x=0$, och vi har $f'(0)=0$.
(b) För $x>0$ får vi direkt att $f'(x)=2x$, och för $x<0$ får vi $f'(x)=-2x$. Tillsammans med resultatet i (a) får vi därmed att $f'(x)=2\lvert x\rvert$.
(c) Från resultatet i (b) följer direkt att $G(x)=\frac{x\lvert x\rvert}2$ är en primitiv funktion till $g(x)=\lvert x\rvert$.