Analys I · 2026-03-18
Beräkna följande gränsvärden eller visa att de inte existerar:
$$\lim_{x\to 2}\frac{(x+3)^2(x-2)}{x^2-x-2},\qquad\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+3x+1}-x\right).$$
Endast metoder från Analys del 1 får användas, i synnerhet är l’Hopitals regel inte tillåten.
(a) Nämnaren har nollställena
$$x=\frac12\pm\sqrt{\frac14+2}=\begin{cases}-1\\2\end{cases}$$
Därför är
$$\frac{(x+3)^2(x-2)}{x^2-x-2}=\frac{(x+3)^2(x-2)}{(x+1)(x-2)}=\frac{(x+3)^2}{x+1}\to\frac{25}3\quad\text{då }x\to2.$$
(b) $$\begin{aligned}\sqrt{x^2+3x+1}-x&=\frac{x^2+3x+1-x^2}{\sqrt{x^2+3x+1}+x}=\frac{3x+1}{\sqrt{x^2+3x+1}+x}\\&=\frac{3+\frac1x}{\sqrt{1+\frac3x+\frac1{x^2}}+1}\to\frac32\quad\text{då }x\to+\infty.\end{aligned}$$