Uppgift 2

Vi visar att $e^x-e^{-x}=y$ har precis en lösning för varje $y\in\mathbb R$. Substitution $t=e^x$ ger
$$t-\frac1t=y\iff t^2-yt-1=0\iff t=\frac y2\pm\sqrt{\frac{y^2}4+1}.$$
Eftersom $\sqrt{\frac{y^2}4+1}>\frac y2$ och $t=e^x>0$ finns endast lösningen
$$e^x=t=\frac y2+\sqrt{\frac{y^2}4+1}$$
som leder till
$$x=\ln\left(\frac y2+\sqrt{\frac{y^2}4+1}\right)=\ln(y+\sqrt{y^2+4})-\ln(2).$$
Därför är $f$ injektiv och
$$f^{-1}(x)=\ln(x+\sqrt{x^2+4})-\ln2,\quad x\in\mathbb R.$$