Analys I · 2026-03-18
Beräkna alla asymptoter till grafen av
$$g(x)=\frac{x^3-x^2+x}{x^2+1},\qquad x\in\mathbb{R}.$$
Undersök huruvida funktionen
$$f(x)=\lvert x\rvert\sin x,\qquad x\in\mathbb{R},$$
är deriverbar i $x=0$ och bestäm i förekommande fall derivatan $f'(0)$.
(a) – inga lodräta asymptoter, då $g$ definierad och kontinuerlig på hela $\mathbb R$.
– Asymptoter vid $\pm\infty$:
$$\begin{array}{r|l}x^3-x^2+x&x^2+1\\-(x^3+x)&x-1\\\hline-x^2&\\-(-x^2-1)&\\\hline1&\end{array}\qquad\implies g(x)=x-1+\frac1{x^2+1}.$$
Då $x-1$ är ett linjärt polynom och
$$\lim_{x\to\pm\infty}\frac1{x^2+1}=0$$
följer det att $g$ har asymptoten $y=x-1$ både då $x\to\pm\infty$.
(b) $$\frac{f(0+h)-f(0)}h=\frac{\lvert h\rvert\sin h}h=\underbrace{\lvert h\rvert}_{\to0}\underbrace{\frac{\sin h}h}_{\to1}\to0\quad\text{då }h\to0.$$
Alltså är $f$ deriverbar i $x=0$ med $f'(0)=0$.