Analys I · 2026-03-18
Betrakta funktionen $f(x)=(x^2-x-1)e^{-x}$, $x\in\mathbb{R}$.
Finn alla lokala minimi- och maximipunkter för $f$ och de tillhörande minimi- och maximivärdena.
Bestäm gränsvärdena för $f(x)$ då $x\to\pm\infty$.
Skissera grafen av $f$. (Konvexitet behöver inte undersökas.)
Tips: $e^{-3}\approx 0{,}05$.
$f(x)=(x^2-x-1)e^{-x}$
(a) $f'(x)=(2x-1)e^{-x}-(x^2-x-1)e^{-x}=(-x^2+3x)e^{-x}$.
$$f'(x)=0\iff0=-x^2+3x=-x(x-3)\iff x=0\text{ eller }x=3,$$
$$f'(x)=-x(x-3)e^{-x}.$$
Teckenschema:
$$\begin{array}{c|ccccc}x&&0&&3&\\\hline f'(x)&-&0&+&0&-\\f(x)&\searrow&&\nearrow&&\searrow\end{array}$$
Lokalt min i $x=0$ med min-värde $f(0)=-1$.
Lokalt max i $x=3$ med max-värde $f(3)=5e^{-3}\approx0.25$.
(b) Då $x\to-\infty$ har vi $x^2-x-1\to+\infty$ och $e^{-x}\to+\infty$, alltså $(x^2-x-1)e^{-x}\to+\infty$.
Då $x\to+\infty$ har vi, för $x$ tillräckligt stort,
$$0<(x^2-x-1)e^{-x}<x^2e^{-x}\to0\quad\text{(standard-GV)}$$
$$\implies(x^2-x-1)e^{-x}\to0.$$
(c)