Analys I · 2026-04-15
Beräkna följande gränsvärden eller visa att de inte existerar:
$$\lim_{x\to+\infty}\left(x^2-\sqrt{x^4-7x^2+3}\right),\qquad\lim_{x\to 3}\frac{x^2-2x-3}{x^2-7x+12}.$$
Endast metoder från Analys del 1 får användas, i synnerhet är l’Hopitals regel inte tillåten.
(a) $$x^2-\sqrt{x^4-7x^2+3}=\frac{x^4-(x^4-7x^2+3)}{x^2+\sqrt{x^4-7x^2+3}}=\frac{7-3/x^2}{1+\sqrt{1-7/x^2+3/x^4}}\xrightarrow[x\to+\infty]{}\frac72.$$
(b) Nollställena till täljare och nämnare är $$x^2-2x-3=0\Longleftrightarrow x\in\{-1,3\},\qquad x^2-7x+12=0\Longleftrightarrow x\in\{3,4\}.$$ Alltså $$\frac{x^2-2x-3}{x^2-7x+12}=\frac{(x+1)(x-3)}{(x-4)(x-3)}=\frac{x+1}{x-4}\xrightarrow[x\to3]{}-4.$$