Uppgift 2

(a) Rationell funktion, nämnaren har inga nollställen, alltså inga lodräta asymptoter. Asymptoter vid $\pm\infty$: polynomdivision ger $$\frac{2x^3+x^2+2x}{x^2+1}=2x+1-\frac1{x^2+1}.$$ Då $1/(x^2+1)\to0$ då $x\to\pm\infty$ har vi den linjära asymptoten $y=2x+1$ i båda riktningarna.

(b) Tangentens lutning är lika med derivatan. $$3=f'(x)=\frac{2x}{x^2-\frac13}\Longleftrightarrow 3x^2-1=2x\Longleftrightarrow x^2-\frac23x-\frac13=0\Longleftrightarrow x=\frac13\pm\sqrt{\frac19+\frac13}=\left\{-\frac13,1\right\}.$$ Dock är $f$ odefinierad i $x=-1/3$. Den enda punkten där tangentens lutning är $3$ är $x=1$.