Uppgift 3
Betrakta funktionen $g(x)=\lvert x^2-1\rvert$, $x\in\mathbb{R}$.
(a)
Bestäm alla punkter i vilka $g$ antar ett lokalt minimum eller maximum.
(b)
Undersök var $g$ är konvex resp. konkav.
(c)
Skissera grafen av $g$.
Analys I · 2026-04-15
Uppgift 3
Visa lösningDölj lösning
(a) Vi skriver
$$g(x)=\begin{cases}1-x^2,&-1\le x\le1,\\x^2-1,&|x|\ge1.\end{cases}$$
Funktionen är inte deriverbar i $x=\pm1$. För övriga $x$ är
$$g'(x)=\begin{cases}-2x,&-1<x<1,\\2x,&x<-1\text{ eller }x>1.\end{cases}$$
Teckenstudium ger globala (och lokala) minimipunkter i $x=\pm1$, där $g(\pm1)=0$, samt en lokal maximipunkt i $x=0$, där $g(0)=1$.
(b) För $x\ne\pm1$ gäller
$$g''(x)=\begin{cases}-2,&-1<x<1,\\2,&x<-1\text{ eller }x>1.\end{cases}$$
Alltså är $g$ konkav på $(-1,1)$ och konvex på $(-\infty,-1)$ och $(1,\infty)$.
(c) Grafen består av den nedåtvända parabelbågen $y=1-x^2$ mellan $x=-1$ och $x=1$, och av parabeln $y=x^2-1$ utanför detta intervall.