Uppgift 1

(a) Betrakta $f(x)=4x\ln x+1$ för $x>0$. Då $f'(x)=4\ln x+4$, vilket blir noll om och endast om $x=e^{-1}$. Teckentabellen är

| $x$ | $0$ | | $e^{-1}$ | |
|---|---:|---:|---:|---:|
| $f'(x)$ | | $-$ | $0$ | $+$ |
| $f(x)$ | | ↘ | | ↗ |

Funktionen har dessutom gränsvärdena
$$\lim_{x\to0^+}f(x)=1,\qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.$$
Dessutom är $f(e^{-1})=-4e^{-1}+1<0$. Alltihop ger en enkel skiss av funktionsgrafen att $f$ har två positiva nollställen, dvs. ekvationen har två reella lösningar.