Uppgift 2

Vi ska integrera $f(x)^2=(x-1)/(4-x)^2$. Partialbråksuppdelning:
$$\frac{x-1}{(4-x)^2}=\frac{A}{4-x}+\frac{B}{(4-x)^2}.$$
Detta ger med handpåläggning (dvs. multiplikation med $(4-x)^2$ och gränsvärdesbetraktning $x\to4$) att $B=3$, och sedan följer det vidare att $A=-1$. Rotationsvolymen $V$ ges därför av
$$\begin{aligned} V&=\pi\int_1^3f(x)^2\,dx =\pi\int_1^3\left(-\frac1{4-x}+\frac3{(4-x)^2}\right)\,dx\\ &=\pi\left[\ln(4-x)+\frac3{4-x}\right]_1^3 =\pi(2-\ln3). \end{aligned}$$