Uppgift 3

Vi hittar stationära punkter genom att hitta gemensamma nollställen av
$$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=y(1+2x^2)e^{x^2+y^2},\qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x(1+2y^2)e^{x^2+y^2}.$$
Den enda lösningen är $(x,y)=(0,0)$ (ligger på områdets rand).

Randen består av tre delar. Där $x=0$ eller $y=0$ är $f$ konstant lika med noll. Det återstår att undersöka biten där $y=2-x$ och $0\le x\le2$: låt
$$g(x):=f(x,2-x)=(2x-x^2)e^{x^2+(2-x)^2}=(2x-x^2)e^{2x^2-4x+4}.$$
Dess derivata är
$$\begin{aligned} g'(x)&=(2-2x)e^{2x^2-4x+4}+(2x-x^2)(4x-4)e^{2x^2-4x+4}\\ &=4(1-x)\left(x^2-2x+\frac12\right)e^{2x^2-4x+4}. \end{aligned}$$
Den har nollställen i $x=1$ samt $x=1\pm\sqrt{\frac12}$. Därför är även $(1,1)$, $(1-\sqrt{\frac12},1+\sqrt{\frac12})$ och $(1+\sqrt{\frac12},1-\sqrt{\frac12})$ möjliga extrempunkter.
Jämförelse:
$$f(0,0)=f(0,2)=f(2,0)=0,\qquad f(1,1)=e^2,$$
$$f\left(1-\sqrt{\frac12},1+\sqrt{\frac12}\right) =f\left(1+\sqrt{\frac12},1-\sqrt{\frac12}\right)=\frac{e^3}{2}.$$
Största värdet är alltså $e^3/2$ och minsta värdet är $0$.