Analys II · 2024-01-12
Byt integrationsordning i den itererade integralen $\int_1^7 \left(\int_0^{1/x} f(x, y)\,dy\right) dx$, där $f$ är en kontinuerlig funktion.
Beräkna $\iint_D x(x^2+y^2)^3\,dxdy$, där $D$ är den del av cirkeln $x^2+y^2 \leq 4$ där $x \geq 0$.
(a) En skiss ger
$$\int_1^7\int_0^{1/x}f(x,y)\,dy\,dx
=\int_0^{1/7}\int_1^7f(x,y)\,dx\,dy
+\int_{1/7}^1\int_1^{1/y}f(x,y)\,dx\,dy.$$
(b) Med polära koordinater $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ har vi
$$\begin{aligned}
\iint_D x(x^2+y^2)^3\,dx\,dy
&=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_0^2 r\cos\theta\,r^6\,r\,dr\,d\theta\\
&=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta\int_0^2r^8\,dr
=\frac{1024}{9}.
\end{aligned}$$