Uppgift 5

Den homogena DE:n $y''-7y'+12y=0$ har den karakteristiska ekvationen $r^2-7r+12=0$ med lösningar $r=3$ samt $r=4$. Därför ges den allmänna lösningen till den homogena DE:n av
$$y_h(x)=C_1e^{3x}+C_2e^{4x},$$
med konstanter $C_1,C_2\in\mathbb R$.

För att lösa den inhomogena DE:n väljer vi ansatsen
$$y_p(x)=Axe^{3x}$$
på grund av resonansfall ($e^{3x}$ löser den homogena DE:n). Derivator:
$$y_p'(x)=A(1+3x)e^{3x},\qquad y_p''(x)=A(6+9x)e^{3x}.$$
Insättning i DE:n ger
$$e^{3x}=-Ae^{3x},$$
och jämförelse av koefficienterna leder till $A=-1$. Vi får alltså $y_p(x)=-xe^{3x}$, och den allmänna lösningen är
$$y(x)=C_1e^{3x}+C_2e^{4x}-xe^{3x}.$$