Analys II · 2024-01-12
Antag att $f$ är en fyra gånger deriverbar funktion i en omgivning av $x = 0$ och att den fjärde derivatan är kontinuerlig.
Ange Maclaurinpolynomet av grad 3 till $f$ samt ange den tillhörande resttermen på Lagranges eller svag form.
Antag nu dessutom att $f(0) \neq 0$ samt $f(0)f''(0) - f'(0)^2 = 0$. Bestäm en reell konstant $\alpha$ (beroende på värdena av $f$ och dess derivator i $x = 0$) sådan att gränsvärdet $\lim_{x \to 0} \frac{\alpha f(x) + f'(x)}{x^2}$ är ändligt.
(a) Det finns en funktion $B$ som är begränsad i en omgivning av $x=0$ sådan att
$$f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}2x^2+\frac{f'''(0)}6x^3+B(x)x^4.$$
(Restterm på svag form.)
(b) Under uppgiftens förutsättningar existerar funktioner $B,\widetilde B$ som är begränsade i en omgivning av $x=0$ sådana att
$$f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}2x^2+B(x)x^3,$$
$$f'(x)=f'(0)+f''(0)x+\frac{f'''(0)}2x^2+\widetilde B(x)x^3.$$
Därför
$$
\frac{\alpha f(x)+f'(x)}{x^2}
=\frac{\alpha f(0)+f'(0)+(\alpha f'(0)+f''(0))x+
\frac{\alpha f''(0)+f'''(0)}2x^2+(\alpha B(x)+\widetilde B(x))x^3}{x^2},
$$
och gränsvärdet då $x\to0$ existerar om och endast om både
$$\alpha f(0)+f'(0)=0\qquad\text{och}\qquad\alpha f'(0)+f''(0)=0.$$
Om $f'(0)=0$, så ger den första ekvationen $\alpha=0$, och i detta fall ger $f(0)f''(0)-f'(0)^2=0$ att även $f''(0)=0$; $\alpha=0$ uppfyller alltså även den andra ekvationen.
Låt oss nu betrakta fallet $f'(0)\ne0$. Den första ekvationen löses då av $\alpha_1=-f'(0)/f(0)$, och den andra av $\alpha_2=-f''(0)/f'(0)$. Enligt förutsättningen $f(0)f''(0)-f'(0)^2=0$ är $\alpha_1=\alpha_2$ och ekvationssystemet har en entydig lösning,
$$\alpha=-\frac{f'(0)}{f(0)}=-\frac{f''(0)}{f'(0)}.$$