Uppgift 1

Funktionen är kontinuerlig på $[0,2]$, antar alltså sitt största och minsta värde. Vi ser från definitionen av $f$ att $f(x)\ge0$ gäller för alla $x$, och att $f(1)=0$. Därför är minsta värdet $0$. Dessutom gäller
$$ f(x)= \begin{cases} \dfrac{1-x^2}{1+x^2},&x\le1,\\\\[4pt] \dfrac{x^2-1}{1+x^2},&x\ge1, \end{cases} \qquad f'(x)= \begin{cases} -\dfrac{4x}{(1+x^2)^2},&x<1,\\\\[4pt] \dfrac{4x}{(1+x^2)^2},&x>1. \end{cases} $$
Vi kan genast läsa av följande teckentabell.

| $x$ | $0$ | | $1$ | | $2$ |
|---|---:|---:|---:|---:|---:|
| $f'(x)$ | | $-$ | $|$ | $+$ | |
| $f(x)$ | $1$ | ↘ | $0$ | ↗ | $3/5$ |

Största värdet på intervallet $[0,2]$ är alltså $1$.