Uppgift 2
Beräkna Maclaurinpolynomet $p_2$ av grad 2 till funktionen $f(x)=e^{x^2/2}$ samt visa att felet som begås när $f(x)$ ersätts med $p_2(x)$ är mindre än $2\cdot10^{-4}$ för $-0,1\le x\le0,1$.
Analys II · 2024-02-21
Uppgift 2
Visa lösningDölj lösning
Maclaurinpolynomet kan bestämmas med hjälp av standardutvecklingar. Då vi dock ändå kommer behöva derivatorna av $f$, börjar vi med att räkna ut dem:
$$f'(x)=xe^{x^2/2},\qquad f''(x)=(1+x^2)e^{x^2/2},\qquad f'''(x)=(3x+x^3)e^{x^2/2}.$$
Därför blir
$$p_2(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}2x^2=1+\frac{x^2}{2}.$$
Resttermen blir då
$$R_3(x)=\frac{f'''(\xi)}6x^3
=\frac{(3\xi+\xi^3)e^{\xi^2/2}}6x^3$$
för något $\xi$ mellan $0$ och $x$. Om $|x|\le0,1$, så är även $|\xi|\le0,1$ och vi kan få fram feluppskattningen
$$|R_3(x)|\le\frac{(3|\xi|+|\xi|^3)e^{\xi^2/2}}6|x|^3
\le3\frac{3+0,1^2}{6}\,0,1^4
\le\frac12\cdot4\cdot10^{-4}=2\cdot10^{-4},$$
då vi har använt $e^{\xi^2/2}\le e^1<3$.