Uppgift 3

Betrakta funktionen $f(x)=(x+1)e^{-x}$. Den är deriverbar på hela $\mathbb R$ och
$$f'(x)=-xe^{-x}.$$
Särskilt är $f'(x)<0$ för alla $x>0$ och själva $f$ avtagande och positiv där. Därför har vi integraluppskattningen
$$\sum_{k=2}^{\infty}\frac{k+1}{e^k}\le\int_1^\infty f(x)\,dx =\lim_{B\to\infty}\int_1^B(x+1)e^{-x}\,dx.$$
Integralen kan beräknas med hjälp av partiell integration. Alternativt ger beräkningen ovan att
$$\begin{aligned} \int_1^B(x+1)e^{-x}\,dx &=-\int_1^B(-xe^{-x})\,dx+\int_1^Be^{-x}\,dx\\\\ &=-[(x+1)e^{-x}]_1^B-[e^{-x}]_1^B\\\\ &=\frac2e-\frac{B+1}{e^B}+\frac1e-\frac1{e^B} \longrightarrow\frac3e \end{aligned}$$
då $B\to\infty$. Sammanlagt får vi
$$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k+1}{e^k}\le\frac2e+\frac3e=\frac5e.$$