Uppgift 4

Vi väljer polära koordinater $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$, där $2\le r\le3$ och $0\le\theta\le\frac\pi2$. Då får vi
$$\begin{aligned} \iint_Dxy\,dx\,dy &=\int_2^3\int_0^{\pi/2}r^2\cos\theta\sin\theta\,r\,d\theta\,dr\\\\ &=\int_2^3r^3\,dr\int_0^{\pi/2}\sin\theta\cos\theta\,d\theta\\\\ &=\frac14(3^4-2^4)\int_0^{\pi/2}\sin\theta\cos\theta\,d\theta =\frac{65}{4}\int_0^{\pi/2}\sin\theta\cos\theta\,d\theta. \end{aligned}$$
Integralen med avseende på $\theta$ kan t.ex. beräknas genom att inse att $\sin\theta\cos\theta$ är derivatan till $g(\theta)=\frac12\sin^2\theta$. Detta ger
$$\iint_Dxy\,dx\,dy=\frac{65}{4}\bigl(g(\pi/2)-g(0)\bigr)=\frac{65}{8}.$$