Uppgift 5

Detta är en DE med separabla variabler. Vi kan se genast att vänsterledet liknar $\frac{d}{dx}y^2$. Således är DE:n ekvivalent med
$$y^2=\int\frac1{x^2-4}\,dx =\int\left(\frac{1/4}{x-2}-\frac{1/4}{x+2}\right)\,dx =\frac14\ln|x-2|-\frac14\ln|x+2|+C.$$
(Partialbråksuppdelning genom handpåläggning.) Vi kan redan nu bestämma konstanten, då vi vill ha $y(1)=-2$ och därför
$$4=y^2(1)=-\frac14\ln3+C,$$
vilket ger $C=4+\frac14\ln3$. Vidare får vi
$$y(x)=\pm\sqrt{\frac14\ln|x-2|-\frac14\ln|x+2|+4+\frac14\ln3} =\pm\sqrt{\frac14\ln\left|\frac{x-2}{x+2}\right|+4+\frac14\ln3}.$$
Men för att begynnelsevillkoret $y(1)=-2$ kan gälla, så måste tecknet väljas som minus, och lösningen blir
$$y(x)=-\sqrt{\frac14\ln\left|\frac{x-2}{x+2}\right|+4+\frac14\ln3}.$$