Analys II · 2024-02-21
Låt $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ vara en funktion i två variabler. Ange definitionen av en lokal minimipunkt till $f$.
Bestäm den enda stationära punkten till funktionen $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$, $f(x,y)=(x^2-2x+y^2)(1+y^2)$, och visa att den är en lokal minimipunkt.
(a) $(x_0,y_0)$ är en lokal minimipunkt till $f$ om och endast om $f(x,y)\ge f(x_0,y_0)$ gäller för alla $(x,y)$ i en omgivning av $(x_0,y_0)$.
(b) Vi beräknar först de partiella derivatorna,
$$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=(2x-2)(1+y^2),\qquad
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=2y(x^2+2y^2-2x+1).$$
$\partial f/\partial x$ försvinner uppenbarligen endast om $x=1$. Stoppar vi in detta i ekvationen $0=\partial f/\partial y(x,y)$, så ger detta $4y^3=0$ och därför $y=0$ som enda lösning. Den enda stationära punkten är alltså $(1,0)$.
Att detta är en lokal (t.o.m. global) minimipunkt följer då med kvadratkomplettering:
$$f(x,y)=((x-1)^2+y^2-1)(y^2+1)\ge y^4-1\ge-1=f(1,0)$$
gäller för alla $(x,y)\in\mathbb R^2$.