Uppgift 2
Beräkna Maclaurinpolynomet $p_2$ av grad 2 till funktionen $f(x)=\sqrt{1+3x}$ samt visa att approximationsfelet som fås när $f(x)$ ersätts med $p_2(x)$ är högst $\frac{27}{16}\cdot10^{-3}$ för $0\le x\le0,1$.
Analys II · 2024-05-27
Uppgift 2
Visa lösningDölj lösning
Vi har
$$f'(x)=\frac{3}{2\sqrt{1+3x}},\qquad
f''(x)=-\frac9{4\sqrt{(1+3x)^3}},\qquad
f'''(x)=\frac{81}{8\sqrt{(1+3x)^5}}.$$
Maclaurinpolynomet av grad $2$ är
$$p_2(x)=1+\frac32x-\frac98x^2.$$
Resttermen ges av
$$R_3(x)=\frac{27}{16\sqrt{(1+3\xi)^5}}x^3,$$
där $\xi$ ligger mellan $0$ och $x$. Ifall $0\le x\le0,1$ är alltså $\xi\ge0$ och därför erhåller vi feluppskattningen
$$|R_3(x)|=\frac{27}{16\sqrt{(1+3\xi)^5}}|x|^3
\le\frac{27}{16}0,1^3=\frac{27}{16}\cdot10^{-3}.$$