Uppgift 3

Vi hittar stationära punkter genom att hitta gemensamma nollställen av
$$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2xy,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x^2+3y^2.$$
Ekvationen $2xy=0$ löses av $x=0$ eller $y=0$, och insatt i den andra ekvationen ger $x=0$ att $y=0$ och tvärtom. Den enda stationära punkten är då $(0,0)$ med $f(0,0)=0$.
Randen består av halvcirkeln $x^2+y^2=16$, $y\ge0$, med radie $4$, samt $y=0$, $-4\le x\le4$. Vi parametriserar halvcirkeln med $x=4\cos t$, $y=4\sin t$, $0\le t\le\pi$, och får då
$$f(x,y)=y(x^2+y^2)=64\sin t,\qquad0\le t\le\pi.$$
Största värdet på halvcirkeln är därför $64$ och minsta värdet noll. På $y=0$ har vi $f(x,y)=0$ konstant. Därför är funktionens största värde på hela området $64$ och dess minsta värde noll.