Uppgift 5

Den homogena DE:n $y''-2y'-8y=0$ har den karakteristiska ekvationen $r^2-2r-8=0$ med lösningar $r=-2$ samt $r=4$. Därför ges den allmänna lösningen till den homogena DE:n av
$$y_h(x)=C_1e^{-2x}+C_2e^{4x},$$
med konstanter $C_1,C_2\in\mathbb R$.
För att lösa den inhomogena DE:n väljer vi ansatsen
$$y_p(x)=Axe^{-2x}$$
på grund av resonansfall ($e^{-2x}$ löser den homogena DE:n). Derivator:
$$y_p'(x)=A(1-2x)e^{-2x},\qquad y_p''(x)=A(4x-4)e^{-2x}.$$
Insättning i DE:n ger
$$e^{-2x}=Ae^{-2x}(-6),$$
och jämförelse av koefficienterna leder till $A=-\frac16$. Vi får alltså
$$y_p(x)=-\frac16xe^{-2x},$$
och den allmänna lösningen är
$$y(x)=C_1e^{-2x}+C_2e^{4x}-\frac16xe^{-2x}.$$