Uppgift 1
Beräkna Maclaurinpolynomet $p_3$ av grad 3 till funktionen $f(x)=\ln(\sqrt{1+x})$. Visa dessutom att approximationsfelet som fås när $f(x)$ ersätts med $p_3(x)$ är högst $18\cdot10^{-8}$ för $0\le x\le0,01$.
Analys II · 2024-08-27
Uppgift 1
Visa lösningDölj lösning
Funktionen $f$ har derivatorna
$$f'(x)=\frac1{2(1+x)},\qquad f''(x)=-\frac1{2(1+x)^2},\qquad
f'''(x)=\frac1{(1+x)^3},\qquad f^{(4)}(x)=-\frac3{(1+x)^4}.$$
Detta ger Maclaurinpolynomet
$$p_3(x)=\frac12x-\frac14x^2+\frac16x^3.$$
Resttermen är
$$R_4(x)=\frac{f^{(4)}(\xi)}{4!}x^4=-\frac3{24(1+\xi)^4}x^4,$$
där $\xi$ är ett tal mellan $0$ och $x$. För $0\le x\le0,01$ har vi $0\le\xi\le0,01$, vilket ger $1+\xi\ge1$. Därför ges felet av
$$|R_4(x)|=\frac1{8(1+\xi)^4}x^4\le\frac18\,0,01^4=\frac18\cdot10^{-8}.$$