Uppgift 2

Vi ska använda oss av partialbråksuppdelning och har
$$f(x)=\frac{5x-8}{x(x^2-4x+4)} =\frac{5x-8}{x(x-2)^2}.$$
På grund av det dubbla nollstället $2$ i nämnaren väljer vi en ansats
$$\frac{5x-8}{x(x-2)^2}=\frac Ax+\frac B{x-2}+\frac C{(x-2)^2}.\tag{1}$$
Multiplicerar vi ekvation (1) med $x$ och tittar på gränsvärdet då $x\to0$, så får vi (“handpåläggning”) $A=-8/4=-2$. Om vi multiplicerar (1) med $x(x-2)^2$, så får vi
$$5x-8=A(x-2)^2+Bx(x-2)+Cx,$$
och övergång till gränsvärdet då $x\to2$ ger $2=2C$, dvs. $C=1$. Alltså har (1), multiplicerat med $x-2$, formen
$$\frac{5x-8}{x(x-2)}=-\frac2x(x-2)+B+\frac1{x-2},$$
och omformning ger
$$\begin{aligned} B&=\frac{5x-8}{x(x-2)}+\frac2x(x-2)-\frac1{x-2}\\\\ &=\frac{5x-8+2(x-2)^2-x}{x(x-2)} =\frac{(4+2(x-2))(x-2)}{x(x-2)}=2. \end{aligned}$$
Vi får därför
$$\begin{aligned} \int f(x)\,dx &=-2\int\frac1x\,dx+2\int\frac1{x-2}\,dx+\int\frac1{(x-2)^2}\,dx\\\\ &=-2\ln|x|+2\ln|x-2|-\frac1{x-2}+D, \end{aligned}$$
där $D\in\mathbb R$.