Uppgift 3

De partiella derivatorna till $f$ är
$$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=6xy-6x=6x(y-1),\qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=3x^2+12y^2-24y.$$
$\partial f/\partial x$ blir noll när $x=0$ eller $y=1$. Insättning av $x=0$ i $\partial f/\partial y=0$ ger $12y(y-2)=0$ och har lösningarna $y=0$ och $y=2$. Å andra sidan leder $y=1$ till $3x^2-12=0$, vilket har lösningarna $x=\pm2$. Sammanlagt har vi fyra stationära punkter,
$$(0,0),\qquad(0,2),\qquad(-2,1),\qquad(2,1).$$
Funktionen $f$ har inget största värde. Ett möjligt argument för detta ser så här ut: Funktionen är deriverbar överallt. Om den har ett största värde, så måste detta värde antas i en av de stationära punkterna. Vi beräknar
$$f(0,0)=1,\qquad f(0,2)=-15,\qquad f(-2,1)=f(2,1)=-7.$$
Men t.ex. $f(0,10)=4000-1200+1=2799$ är (mycket) större än alla dessa värden. Alternativt kan t.ex. visas att $f(x,x)$ går mot $+\infty$ då $x\to+\infty$.