Uppgift 4

Området $D$ beskrivs i polära koordinater av $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$, där $1\le r\le2$ och $-\frac\pi2\le\theta\le\frac\pi2$. Alltså
$$\begin{aligned} \iint_D\frac{x}{1+(x^2+y^2)^{3/2}}\,dx\,dy &=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_1^2 \frac{r\cos\theta}{1+r^3}\,r\,dr\,d\theta\\\\ &=\left(\sin\frac\pi2-\sin\left(-\frac\pi2\right)\right) \int_1^2\frac{r^2}{1+r^3}\,dr\\\\ &=\frac23\left[\ln(1+r^3)\right]_1^2 =\frac23(\ln9-\ln2). \end{aligned}$$