Uppgift 5

Denna DE har separabla variabler, då den kan skrivas
$$y'=\frac{y^2+1}{1+x}.$$
Högerledet har inga nollställen, vi får alltså inga konstanta lösningar, och DE:n är ekvivalent med
$$\int\frac1{1+y^2}\,dy=\int\frac1{1+x}\,dx,$$
vilket ger
$$\arctan(y)=\ln|1+x|+C.$$
Så länge som högerledet ligger mellan $-\pi/2$ och $\pi/2$ (vilket stämmer för $x$ nära noll och lämplig konstant $C$), så följer
$$y(x)=\tan(\ln|1+x|+C).$$
Vi bestämmer konstanten $C$: $1=\tan(C)$ ger $C=\pi/4$ (som ligger i rätt intervall). Alltså har DE:n den entydiga lösningen
$$y(x)=\tan\left(\ln|1+x|+\frac\pi4\right).$$