Analys II · 2024-08-27
Ange definitionen av konvergens för en serie $\sum_{k=1}^{\infty}a_k$, där $a_1,a_2,\dots$ är reella tal.
Låt $f:[1,\infty)\to\mathbb{R}$ vara en positiv, avtagande, deriverbar funktion sådan att $\int_1^\infty f(x)\,dx<\infty$. Visa att serien $\sum_{k=1}^{\infty}f^2(k)$ konvergerar.
(a) Serien $\sum_{k=1}^{\infty}a_k$ sägs konvergera mot $s\in\mathbb R$ om talföljden
$$s_n:=\sum_{k=1}^n a_k$$
konvergerar mot $s$ då $n\to\infty$, dvs. $\lim_{n\to\infty}s_n=s$.
(b) Då $f$ är deriverbar gäller samma sak för funktionen $f^2$, och $(f^2)'(x)=2f(x)f'(x)\le0$ gäller för alla $x\in(1,\infty)$ eftersom $f(x)>0$ och $f'(x)\le0$ för alla $x$. Särskilt är $f^2$ avtagande (och självklart positiv). Då $f$ är avtagande och $\int_1^\infty f(x)\,dx<\infty$ följer att $f(x)\to0$ då $x\to+\infty$. (Annars skulle $f$ ha ett positivt gränsvärde $G:=\lim_{x\to+\infty}f(x)>0$ och $\int_1^b f(x)\,dx\ge G(b-1)$ skulle följa, vilket går mot $+\infty$ då $b\to+\infty$, vilket motsäger integrerbarhetsvillkoret.) Särskilt gäller för alla tillräckligt stora $x$, säg $x>X$, att $f(x)<1$ och därför $f^2(x)<f(x)$. Därför gäller
$$\int_X^b f^2(x)\,dx<\int_X^b f(x)\,dx$$
för alla $b>X$, och $\int_1^\infty f^2(x)\,dx<\infty$ följer. Enligt Cauchys integralkriterium konvergerar serien $\sum_{k=1}^{\infty}f^2(k)$.