Uppgift 1

(a) För $f(x)=\frac{\sin x}{x+2}$ får vi $$f'(x)=\frac{\cos x(x+2)-\sin x}{(x+2)^2},$$ $$f''(x)=\frac{-\sin x(x+2)^2-2\cos x(x+2)+2\sin x}{(x+2)^3}.$$ Därför $$p_2(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}2x^2=\frac12x-\frac14x^2.$$ (b) Från (a) vet vi att $f(x)=\frac{x}{2}-\frac{x^2}{4}+B(x)x^3$, där $B$ är begränsad nära $0$. Då $$\frac{\sin x}{x^3+2x^2}-\frac1{2x}=\frac1{x^2}\left(f(x)-\frac{x}{2}\right)=-\frac14+B(x)x\longrightarrow-\frac14.$$