Uppgift 2

För $$f(x,y)=\frac{x(x^2+y^2)}{1-x^2-y^2}$$ ges de stationära punkterna av $\nabla f=\mathbf0$. Den andra ekvationen ger $2xy=0$. Om $x=0$ ger den första ekvationen $y=0$ eller $y=\pm1$, men de senare punkterna ligger inte i funktionens definitionsmängd. Om $y=0$ ger den första ekvationen $x^2(3-x^2)=0$, alltså $x=0$ eller $x=\pm\sqrt3$. Punkterna $(\pm\sqrt3,0)$ ligger inte i området. Enda stationära punkten i området är $(0,0)$ med $f(0,0)=0$. Randen parametriseras av $x=\frac12\cos t$, $y=\frac12\sin t$, $0\le t\le2\pi$. Där har vi $f(x,y)=\frac{\frac12\cos t\cdot\frac14}{1-\frac14}=\frac{\frac18\cos t}{\frac34}=\frac{\cos t}{6},$ vilket blir störst vid $t=0,2\pi$ och minst vid $t=\pi$ med värden $\frac16\cos(0)=\frac16$ resp. $\frac16\cos(\pi)=-\frac16$. Kandidaterna för största och minsta värde är alltså $-\frac16,0,\frac16$, så $\max f=\frac16$, $\min f=-\frac16$.