Analys II · 2025-02-28
Byt integrationsordning i den itererade integralen $\int_0^2\int_0^{\sqrt{x}}f(x,y)\,dy\,dx$, där $f$ är en kontinuerlig funktion.
Beräkna $\iint_D\frac{x}{(1+x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2}}\,dx\,dy$, där $D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\tfrac14\le x^2+y^2\le4,\ y\le x\}$.
(a) Området ges av $0\leq x\leq2$ och $0\leq y\leq\sqrt{x}$, alltså $y^2\leq x\leq2$. Därför $$\int_0^2\int_0^{\sqrt{x}}f(x,y)\,dy\,dx=\int_0^{\sqrt2}\int_{y^2}^{2}f(x,y)\,dx\,dy.$$ (b) I polära koordinater är $\frac12\leq r\leq2$ och $-\frac{3\pi}{4}\leq\theta\leq\frac{\pi}{4}$. Då $$\begin{aligned}\iint_D\frac{x}{(1+x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2}}\,dx\,dy&=\int_{-3\pi/4}^{\pi/4}\int_{1/2}^{2}\frac{r\cos\theta}{(1+r^2)r}r\,dr\,d\theta\\&=\left[\sin\theta\right]_{-3\pi/4}^{\pi/4}\frac12\left[\ln(1+r^2)\right]_{1/2}^{2}\\&=\sqrt2\ln2.\end{aligned}$$