Uppgift 4

Den homogena differentialekvationen har karakteristisk ekvation $$0=\lambda^2-10\lambda+25=(\lambda-5)^2,$$ så den allmänna homogena lösningen är $y_h(x)=(C_1+C_2x)e^{5x}$. För den inhomogena ekvationen ansätter vi $y_p(x)=Ax^2e^{5x}$. Då $$y_p'(x)=(2Ax+5Ax^2)e^{5x},$$ $$y_p''(x)=(2A+20Ax+25Ax^2)e^{5x}.$$ Insättning ger $$y_p''-10y_p'+25y_p=2Ae^{5x},$$ varför $A=\frac12$. Alltså är den allmänna lösningen $$y(x)=\left(C_1+C_2x+\frac{x^2}{2}\right)e^{5x},\qquad C_1,C_2\in\mathbb R.$$