Uppgift 1

Skriv $$f(x)=f_1(x)+f_2(x),\qquad f_1(x)=\frac{x+1}{(x+3)^2},\quad f_2(x)=\frac{2x}{x^2+2x+2}.$$ För den första termen gäller $$f_1(x)=\frac1{x+3}-\frac2{(x+3)^2},$$ så $$\int f_1(x)\,dx=\ln\lvert x+3\rvert+\frac2{x+3}.$$ För den andra termen, sätt $t=x+1$. Då $$\int f_2(x)\,dx=\int\frac{2t-2}{t^2+1}\,dt=\ln(t^2+1)-2\arctan(t)+C_2,$$ det vill säga $$\int f_2(x)\,dx=\ln(x^2+2x+2)-2\arctan(x+1)+C_2.$$ Sammanlagt $$\int f(x)\,dx=\ln\lvert x+3\rvert+\frac2{x+3}+\ln(x^2+2x+2)-2\arctan(x+1)+C.$$