Analys II · 2025-08-29
Byt integrationsordning i den itererade integralen $\int_1^2\int_{\ln x}^{\ln2}f(x,y)\,dy\,dx$.
Beräkna dubbelintegralen $\iint_D\left(\frac{y}{(x^2+y^2)^{3/2}}-2\right)\,dx\,dy$, där $D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:1\le x^2+y^2\le4,\ y\ge0\}$.
(a) Området i den itererade integralen kan beskrivas med $1\leq x\leq2$ och $\ln x\leq y\leq\ln2$. Efter byte av integrationsordning får vi $$\int_1^2\int_{\ln x}^{\ln2}f(x,y)\,dy\,dx=\int_0^{\ln2}\int_1^{e^y}f(x,y)\,dx\,dy.$$ (b) I polära koordinater $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ gäller $1\leq r\leq2$ och $0\leq\theta\leq\pi$. Därför $$\begin{aligned}\iint_D\left(\frac{y}{(x^2+y^2)^{3/2}}-2\right)\,dx\,dy&=\int_0^\pi\int_1^2\left(\frac{\sin\theta}{r}-2r\right)\,dr\,d\theta\\&=2\ln2-3\pi.\end{aligned}$$