Uppgift 3

Funktionen $f(x,y)=e^{x^2+y}$ har inga stationära punkter, eftersom $$\frac{\partial f}{\partial x}=2xe^{x^2+y},\qquad\frac{\partial f}{\partial y}=e^{x^2+y}$$ aldrig kan vara noll samtidigt. På triangelns kanter undersöker vi följande. För $x=2$ är $f(x,y)=e^{4+y}$, $0\leq y\leq2$, så minsta värdet är $e^4$ och största värdet är $e^6$. För $y=2$ är $f(x,y)=e^{x^2+2}$, $0\leq x\leq2$, så minsta värdet är $e^2$ och största värdet är $e^6$. För $y=2-x$ får vi $$g(x)=f(x,2-x)=e^{x^2+2-x},\qquad 0\leq x\leq2.$$ Derivatan är $g'(x)=(2x-1)e^{x^2+2-x}$, med nollställe $x=\frac12$. Kandidaterna ger $g(0)=e^2$, $g(\frac12)=e^{7/4}$ och $g(2)=e^4$. Alltså har funktionen på triangeln minimum $e^{7/4}$ och maximum $e^6$.