Uppgift 4

Den homogena differentialekvationen har karakteristisk ekvation $$\lambda^2+\lambda-12=0,$$ vars rötter är $\lambda=-4$ och $\lambda=3$. Den homogena lösningen är därför $$y_h(x)=C_1e^{-4x}+C_2e^{3x}.$$ För den inhomogena ekvationen ansätter vi $$y_p(x)=Ax e^{3x}+B.$$ Då $$y_p'(x)=(3Ax+A)e^{3x},\qquad y_p''(x)=(9Ax+6A)e^{3x}.$$ Insättning ger $$2e^{3x}+1=7Ae^{3x}-12B,$$ så $A=\frac27$ och $B=-\frac1{12}$. Alltså är den allmänna lösningen $$y(x)=C_1e^{-4x}+C_2e^{3x}+\frac27xe^{3x}-\frac1{12},\qquad C_1,C_2\in\mathbb R.$$