Analys II · 2025-08-29
Beräkna Maclaurinpolynomet $p_2$ av grad 2 för $g(x)=\frac{\sin x}{e^x}$.
Antag att $f_1(x)=5x^{n_1}+B_1(x)x^{n_1+1}$ och $f_2(x)=-3x^{n_2}+B_2(x)x^{n_2+1}$, där $B_1,B_2$ är funktioner som är begränsade i en omgivning av origo och $n_1,n_2\ge1$ är heltal. Bestäm ett heltal $m\ge0$ för vilket $h(x)=\frac{f_1(x)f_2(x)}{x^m}$ har ett strängt lokalt extremum i origo. Vilken typ av extremum (minimum eller maximum) handlar det om i så fall?
(a) För $g(x)=e^{-x}\sin x$ gäller
$$g'(x)=e^{-x}(\cos x-\sin x),\qquad g''(x)=-2e^{-x}\cos x.$$
Eftersom $g(0)=0$, $g'(0)=1$ och $g''(0)=-2$ blir Maclaurinpolynomet
$$p_2(x)=g(0)+g'(0)x+\frac{g''(0)}2x^2=x-x^2.$$
(b) Sätt $N=n_1+n_2$. Produkten kan skrivas
$$f_1(x)f_2(x)=-15x^N+\widetilde B(x)x^{N+1},$$
där $\widetilde B$ är begränsad nära origo. Eftersom $N\ge2$ kan vi välja
$$m=N-2=n_1+n_2-2\ge0.$$
Efter den naturliga kontinuerliga utvidgningen i origo får vi då
$$h(x)=-15x^2+\widetilde B(x)x^3=x^2\bigl(-15+x\widetilde B(x)\bigr).$$
För alla tillräckligt små $x\ne0$ är faktorn inom parentes negativ. Alltså är $h(x)<h(0)=0$ nära origo, så $h$ har ett strängt lokalt maximum i origo.